Ruote dentate: calcolo a fatica per flessione

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Ruote dentate: calcolo a fatica per flessione

Nella ricerca di maggiori prestazioni accade sempre più frequentemente che la principale forma di sollecitazione delle ruote dentate sia la fatica meccanica. Condizioni operative gravose fanno insorgere disallineamenti che possono portare a failure la ruota ed il gruppo dove è montata. Il miglioramento della resistenza a fatica è un tema da sempre importante per il miglioramento della capacità di carico degli organi e dell’affidabilità delle macchine. I fenomeni di fatica di flessione hanno innesco per lo più in superficie, quindi i trattamenti superficiali sono importanti ma fondamentale è il corretto dimensionamento degli organi meccanici.

La norma UNI 8862: 1987 esprime la condizione di resistenza con la relazione:

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dove σF rappresenta la tensione(nota 1) equivalente al piede del dente nel punto più sollecitato che si calcola con la relazione:

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dipende dalla forza tangenziale media di funzionamento Ft, dalla larghezza di fascia della ruota b, dal modulo normale mn e e da due serie di fattori, dipendenti dall’ingranaggio e dipendenti dal funzionamento.

La tensione ammissibile σFP vale:

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nella quale σFlim è la tensione limite di fatica del materiale, SFmin è il fattore di sicurezza minimo alla flessione mentre gli altri coefficienti dipendono da parametri che modificano il limite di fatica del materiale. Tra questi è importante notare il fattore di durata YNT che rappresenta la curva di Wöhler.

I parametri relativi all’ingranaggio sono i seguenti:

  • yFa fattore di forma del dente,
  • ySa fattore di correzione della tensione,
  • yε fattore del rapporto di condotta,
  • yβ fattore dell’angolo d’elica.

yFa è il fattore di forma: tiene conto della geometria del dente sulla tensione nominale di flessione, si calcola con la relazione

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in analogia al calcolo del fattore di forma di Lewis yLw con l’adozione dell’effettivo angolo di inclinazione γ della forza F fra i denti con γ = αam riferito alla sezione normale del dente. La norma individua la sezione più sollecitata mediante due rette inclinate di 30° rispetto all’asse di simmetria del dente ed aventi origine nel punto di intersezione fra l’asse di simmetria e la retta di contatto e tangenti al profilo dell’evolvente.

 

Il valore yFa si può ottenere anche da diagrammi secondo il tipo di dentiera come funzione del numero di denti virtuale Zv.

ySa è un fattore di correzione della tensione nominale di flessione che tiene conto oltre che di concentrazioni di tensione al piede del dente anche del fatto che la tensione effettiva non è dovuta solo alla flessione. Il calcolo di questo fattore secondo norma prevede una varietà di casi particolari ma se non serve una determinazione fine si può ricorrere a forme diagrammate.

Il fattore ySF può essere usato in sostituzione dei fattori yFa e ySa come loro prodotto, viene diagrammato in funzione del numero di denti Z o Zv nel caso di ruote a denti elicoidali.

8.2

ye è il fattore del rapporto di condotta, tiene conto del fatto che quando i denti in presa sono più di uno, la forza non è applicata in testa al dente, come succede per yFa e ySa, ma in un altro punto del profilo del dente. La normativa porge le seguenti formule per il calcolo:

8.15

Per il calcolo di εα viene proposta la seguente formula:

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nella quale R1 ed R2 sono i raggi primitivi delle ruote 1 e 2, Re1 ed Re2 i raggi di troncatura esterna, Rb1 ed Rb2 i raggi di base, p e pb i passi sulla circonferenza primitiva e quella di base αt è l’angolo di pressione sulla sezione frontale del dente.

yb è il fattore dell’angolo d’elica e tiene conto dell’effetto dell’elicoidalità del dente sulla tensione effettiva, pertanto assumerà valore 1 per ruote a denti diritti. Per comodità si utilizza un diagramma che porge il valore in funzione dell’angolo d’elica β e del coefficiente di ricoprimento εβ.

8.4

L’altra categoria di parametri è quella dei parametri relativi al funzionamento che sono:

  • KA fattore di applicazione del carico;
  • KV fattore dinamico;
  • KFb fattore di distribuzione longitudinale del carico(nota2);
  • KFa fattore di distribuzione trasversale del carico.

La particolarità sta nel fatto che ognuno sia funzione anche dei precedenti quindi devono essere calcolati nell’ordine indicato. come sempre esiste un metodo di calcolo semplificato, a meno di esigenze particolari che richiedano invece il calcolo rigoroso.

KA è il fattore di applicazione del carico e tiene conto dell’entità dei sovraccarichi a cui è sottoposto il sistema per cause esterne all’ingranaggio; può essere determinato tramite una tabella in funzione dei tipi di sovraccarico che si presentano sul motore e sulla macchina:

8.5

Fattore di applicazione del carico

KV è il fattore dinamico e tiene conto degli effetti dovuti alle masse rotanti, e, secondo un calcolo di prima approssimazione, è funzione solo della massima velocità periferica della ruota dentata vp calcolata in corrispondenza della circonferenza primitiva.

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Per ingranaggi e condizioni di funzionamento “ordinarie” la normativa fornisce un’altra espressione:

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 In cui B e A hanno le seguenti espressioni:

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A è espressa in m/s e B è espressa in s/m. Le costanti sono:

  • G il grado di precisione della ruota dentata
  • c valore costante
    • c = 0,18 per ruote a denti diritti con G ≤ 9
    • c = 0,1 per ruote a denti elicoidali con G ≤ 9.

Esistono forme legate alla fabbricazione per la valutazione di questo parametro, per una velocità tangenziale in m/s vale:

  • Kv = ( 3.5 × v ) / 3.5 per ghisa in profilo di fusione
  • Kv = ( 6.1 × v ) / 6.1 per profilo tagliato o fresato
  • Kv = ( 3.56 × v ) / 3.56 per profilo ottenuto con creatore o strozzatrice
  • Kv = ( 3.58 × v ) / 3.58 per profilo sbarbato o rettificato.

Se il numero di denti minimo è superiore a 50 o la forza riferita alla larghezza di fascia è inferiore al limite, bisogna usare dei Kv più cautelativi di quelli calcolati, oppure approfondire il calcolo, se A non supera i 3m/s, possiamo assumere valore unitario per il fattore dinamico.

KFb è il fattore di distribuzione longitudinale del carico e tiene conto delle disomogeneità di applicazione del carico lungo il dente, in mancanza di informazioni precise si può assumere il valore 1.

KFa è ancora un fattore di distribuzione longitudinale del carico e tiene conto delle disuniformità a causa di errori di passo e di profilo nell’applicazione del carico, in mancanza di informazioni precise si può assumere il valore 1.

I parametri relativi alla fatica che producono una riduzione della tensione ammissibile sono:

  • yST fattore di correzione della tensione ;
  • SFmin fattore di sicurezza a flessione ;
  • yδrelT fattore relativo di sensibilità all’intaglio;
  • yRrelT fattore relativo dello stato della superficie al piede del dente;
  • yX fattore di dimensione ;
  • yNT fattore di durata.

Nel dettaglio:

yST è il fattore di correzione della tensione e tiene conto del tipo di sollecitazione (pulsante, alternata, alternata positiva…) e si ricava utilizzando il diagramma di Smith e Goodman

8.6 Nel caso, ad esempio, di sollecitazione pulsante positiva la normativa porge:

σs = 2⋅ σ0 da cui σFp = 2 σFlim quindi yFP = 2

SFmin è il fattore di sicurezza a flessione che per le sollecitazioni di fatica in generale è pari a 1.

yδrelT è il fattore relativo all’intaglio, dipende dal grado di precisione “tecnologica” della ruota dentata, pertanto vale 1 per ruote “tecnologicamente perfette” prese come riferimento, può comunque essere calcolato con la seguente relazione:

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Nella quale il coefficiente ρ’ dipende dalla sensibilità intrinseca del materiale all’intaglio e si può ricavare da tabelle fornite dalla normativa; qs è detto parametro d’intaglio e può anch’esso essere calcolato con la seguente formula:

qs = SFn / 2ρF

con i valori riferiti alla dentiera di riferimento.

8.7

sFn è lo spessore del dente al piede ed è calcolabile con le formule date dalla norma:

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nella quale:

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x è il coefficiente di spostamento del profilo della dentatura e ρF in mm è il raggio di curvatura in corrispondenza della testa del dente. Le formule per il calcolo sono fornite dalla normativa:

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yRrelT è il fattore relativo dello stato della superficie al piede del dente e dipende dal grado di finitura superficiale nei punti di maggiore sollecitazione alla base del dente. Il calcolo da norma è il seguente:

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nella quale Rtm è la rugosità media al piede del dente. Le costanti a, b, c, n dipendono dal materiale. La norma fornisce anche dei grafici per un calcolo rapido, se non si necessita di particolare precisione.

yX è il fattore dimensionale e dipende dalle dimensioni della ruota. Il fattore dimensionale è diagrammato in funzione del modulo normale e del tipo di materiale.

8.8

In condizioni ottimali si può assumere questo fattore di valore unitario.

yNT è il fattore di durata o fattore della curva di Wöhler e dipende dal materiale utilizzato. Per la maggior parte dei materiali utilizzati in meccanica si può esprimere come:

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dove k, Nol, NA, E sono costanti dimensionali dipendenti dal materiale e fornite dalla normativa. Nella normativa sono riportati gli andamenti dei fattori di durata per alcune classi di materiali.

(nota 1) tensione effettiva

(nota2) di disallineamento