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Resistenza a pitting delle ruote dentate

Il pitting è una forma di corrosione superficiale formante alveoli con la comparsa di piccoli danneggiamenti dalla morfologia caratteristica. Nel caso delle ruote dentate la causa è il carico hertziano elevato, in casi numericamente molto più limitati può essere dovuto a cavitazione. La valutazione è tipicamente a fatica e utilizza la teoria di Hertz.

La normativa UNI 8862: 1987 considera la condizione di resistenza a rottura del dente con la relazione:

9.19

nella quale σH s è la pressione hertziana di contatto viene calcolata con la seguente relazione:

9.81

Naturalmente è una tensione normale dovuta alla forza tangenziale Ft media di funzionamento agente sul dente, dalla larghezza di fascia b, dal rapporto di trasmissione

9.11

dal diametro primitivo del pignone (nota 1) d1 e da due serie di fattori, dipendenti dall’ingranaggio e dipendenti dal funzionamento.

La pressione di contatto ammissibile σHP è viene calcolata nel seguente modo:

9.10

nella quale σHlim è la pressione limite base di fatica di superficie, SHmin è il fattore di sicurezza minimo al pitting, ZN è il fattore di durata e similmente al caso della fatica per flessione, si ricava dalla curva di Wöhler a pitting del componente. I restanti fattori moltiplicativi sono dipendenti dalla valutazione a fatica.

I parametri relativi all’ingranaggio utilizzati nel calcolo della massima pressione hertziana di contatto indotta nel materiale che tengono conto della geometria del dente sono:

  • ZH fattore di zona: dipende dagli angoli caratteristici delle ruote e tiene conto degli effetti della curvatura relativa dei fianchi dei denti nel punto primitivo di ingranamento, si calcola tramite la relazione:

9.12

nella quale gli angoli αt, αt (nota 2) sono calcolati noti αn e β, col le relazioni trigonometriche:

9.13

dove d è il diametro primitivo di riferimento e d quello primitivo di funzionamento (nota 3).

  • ZE fattore di elasticità del materiale: dipende dalle caratteristiche meccaniche del materiale. Si ottiene dalla relazione tra i moduli elastici ed i coefficienti di Poisson delle due ruote:

 9.14

  • Zε fattore del rapporto di condotta: dipende dal rapporto di condotta trasversale e dal rapporto di ricoprimento ed è pari a:

    9.15

  • Zβ fattore dell’angolo d’elica: tiene conto degli effetti dell’angolo d’elica sulla distribuzione del carico. Si calcola tramite la relazione sperimentale:

9.16

I parametri relativi al funzionamento sono:

  • KA fattore di applicazione del carico.
  • KV fattore dinamico.
  • K fattore di distribuzione longitudinale – di disallineamento – del carico: tiene conto delle differenze di applicazione del carico lungo il dente. Normalmente si assume pari ad 1 mancando di una valutazione precisa.
  • K fattore di distribuzione trasversale del carico: tiene conto della variabilità provocata da errori di passo e di profilo nell’applicazione del carico.  Normalmente si assume pari ad 1 mancando di una valutazione precisa.

I parametri che riducono la pressione limite base di fatica di superficie per cause prettamente correlate alla fatica sono:

  • SHmin fattore di sicurezza a pitting, in generale è unitario ma è una scelta del progettista;
  • ZL fattore del lubrificante: è funzione della viscosità cinematica del lubrificante a temperature standard abitualmente tra 40°C e 50°C e della tensione σHlim. La normativa riporta delle espressioni analitiche per il calcolo e un diagramma che esprime l’andamento di ZL in funzione della viscosità;

9.2

  • ZR fattore di rugosità: è funzione delle rugosità medie sui fianchi dei denti e della tensione σHlim. La normativa riporta delle espressioni analitiche per il calcolo e un diagramma che esprime l’andamento di ZR in funzione della rugosità di superficie.

9.3

  • ZV è il fattore di velocità: è funzione degli effetti della rotazione tramite la massima velocità periferica vp. La normativa riporta delle espressioni analitiche per il calcolo e un diagramma che esprime l’andamento di ZV in funzione della velocità periferica e della tensione σHlim.

9.4

  • ZW è il fattore del rapporto tra le durezze: tiene conto del fatto che la resistenza di una ruota di acciaio aumenta se questa ingrana con un pignone che ha subito un indurimento superficiale e presenta una bassa rugosità sulla superficie dei denti. In prima approssimazione è funzione solo della durezza della ruota più tenera e può essere espresso tramite la relazione:

9.17

dove HB è la durezza Brinell sui fianchi della ruota. Se HB<130 oppure HB>400 si assume ZW =  1. In realtà altri fattori influiscono su ZW, perciò la formula analitica ci fornisce solo il valore centrale di una fascia di valori, come si può chiaramente notare dal diagramma fornito dalla normativa.

9.5

  • ZX è il fattore di dimensione e dipende dalle dimensioni della ruota. Se il materiale costituente la ruota è idoneo alla dimensione della stessa ed è stato trattato in modo opportuno si può assumere valore unitario.

  • ZN è il fattore di durata o fattore della curva di Wöhler e dipende dal materiale utilizzato. La relazione generale per il fattore di durata è la seguente:

9.18

dove NL è il numero di cicli richiesto e NLV ed E hanno i valori riportati nella figura seguente. Nella normativa sono riportati gli andamenti dei fattori di durata per alcune classi di materiali e sono inoltre fornite le corrispondenti relazioni analitiche.

(nota 1) La nomenclatura deriva dal sistema di trasmissione a catena od ingranaggi corona-pignone. In relazione al numero di denti il pignone è l’ingranaggio più piccolo, mentre la corona è l’ingranaggio più grande.

(nota 2) le grandezze con l’apice sono relative al funzionamento per ingranaggi tagliati con spostamento dei profili.

(nota 3) I diametri primitivi come gli angoli coincidono per ruote a profili non spostati.

Ruote dentate: calcolo a fatica per flessione

Nella ricerca di maggiori prestazioni accade sempre più frequentemente che la principale forma di sollecitazione delle ruote dentate sia la fatica meccanica. Condizioni operative gravose fanno insorgere disallineamenti che possono portare a failure la ruota ed il gruppo dove è montata. Il miglioramento della resistenza a fatica è un tema da sempre importante per il miglioramento della capacità di carico degli organi e dell’affidabilità delle macchine. I fenomeni di fatica di flessione hanno innesco per lo più in superficie, quindi i trattamenti superficiali sono importanti ma fondamentale è il corretto dimensionamento degli organi meccanici.

La norma UNI 8862: 1987 esprime la condizione di resistenza con la relazione:

image001

dove σF rappresenta la tensione(nota 1) equivalente al piede del dente nel punto più sollecitato che si calcola con la relazione:

image003

dipende dalla forza tangenziale media di funzionamento Ft, dalla larghezza di fascia della ruota b, dal modulo normale mn e e da due serie di fattori, dipendenti dall’ingranaggio e dipendenti dal funzionamento.

La tensione ammissibile σFP vale:

image005

nella quale σFlim è la tensione limite di fatica del materiale, SFmin è il fattore di sicurezza minimo alla flessione mentre gli altri coefficienti dipendono da parametri che modificano il limite di fatica del materiale. Tra questi è importante notare il fattore di durata YNT che rappresenta la curva di Wöhler.

I parametri relativi all’ingranaggio sono i seguenti:

  • yFa fattore di forma del dente,
  • ySa fattore di correzione della tensione,
  • yε fattore del rapporto di condotta,
  • yβ fattore dell’angolo d’elica.

yFa è il fattore di forma: tiene conto della geometria del dente sulla tensione nominale di flessione, si calcola con la relazione

image008

in analogia al calcolo del fattore di forma di Lewis yLw con l’adozione dell’effettivo angolo di inclinazione γ della forza F fra i denti con γ = αam riferito alla sezione normale del dente. La norma individua la sezione più sollecitata mediante due rette inclinate di 30° rispetto all’asse di simmetria del dente ed aventi origine nel punto di intersezione fra l’asse di simmetria e la retta di contatto e tangenti al profilo dell’evolvente.

 

Il valore yFa si può ottenere anche da diagrammi secondo il tipo di dentiera come funzione del numero di denti virtuale Zv.

ySa è un fattore di correzione della tensione nominale di flessione che tiene conto oltre che di concentrazioni di tensione al piede del dente anche del fatto che la tensione effettiva non è dovuta solo alla flessione. Il calcolo di questo fattore secondo norma prevede una varietà di casi particolari ma se non serve una determinazione fine si può ricorrere a forme diagrammate.

Il fattore ySF può essere usato in sostituzione dei fattori yFa e ySa come loro prodotto, viene diagrammato in funzione del numero di denti Z o Zv nel caso di ruote a denti elicoidali.

8.2

ye è il fattore del rapporto di condotta, tiene conto del fatto che quando i denti in presa sono più di uno, la forza non è applicata in testa al dente, come succede per yFa e ySa, ma in un altro punto del profilo del dente. La normativa porge le seguenti formule per il calcolo:

8.15

Per il calcolo di εα viene proposta la seguente formula:

image012

nella quale R1 ed R2 sono i raggi primitivi delle ruote 1 e 2, Re1 ed Re2 i raggi di troncatura esterna, Rb1 ed Rb2 i raggi di base, p e pb i passi sulla circonferenza primitiva e quella di base αt è l’angolo di pressione sulla sezione frontale del dente.

yb è il fattore dell’angolo d’elica e tiene conto dell’effetto dell’elicoidalità del dente sulla tensione effettiva, pertanto assumerà valore 1 per ruote a denti diritti. Per comodità si utilizza un diagramma che porge il valore in funzione dell’angolo d’elica β e del coefficiente di ricoprimento εβ.

8.4

L’altra categoria di parametri è quella dei parametri relativi al funzionamento che sono:

  • KA fattore di applicazione del carico;
  • KV fattore dinamico;
  • KFb fattore di distribuzione longitudinale del carico(nota2);
  • KFa fattore di distribuzione trasversale del carico.

La particolarità sta nel fatto che ognuno sia funzione anche dei precedenti quindi devono essere calcolati nell’ordine indicato. come sempre esiste un metodo di calcolo semplificato, a meno di esigenze particolari che richiedano invece il calcolo rigoroso.

KA è il fattore di applicazione del carico e tiene conto dell’entità dei sovraccarichi a cui è sottoposto il sistema per cause esterne all’ingranaggio; può essere determinato tramite una tabella in funzione dei tipi di sovraccarico che si presentano sul motore e sulla macchina:

8.5

Fattore di applicazione del carico

KV è il fattore dinamico e tiene conto degli effetti dovuti alle masse rotanti, e, secondo un calcolo di prima approssimazione, è funzione solo della massima velocità periferica della ruota dentata vp calcolata in corrispondenza della circonferenza primitiva.

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Per ingranaggi e condizioni di funzionamento “ordinarie” la normativa fornisce un’altra espressione:

image015

 In cui B e A hanno le seguenti espressioni:

image017

A è espressa in m/s e B è espressa in s/m. Le costanti sono:

  • G il grado di precisione della ruota dentata
  • c valore costante
    • c = 0,18 per ruote a denti diritti con G ≤ 9
    • c = 0,1 per ruote a denti elicoidali con G ≤ 9.

Esistono forme legate alla fabbricazione per la valutazione di questo parametro, per una velocità tangenziale in m/s vale:

  • Kv = ( 3.5 × v ) / 3.5 per ghisa in profilo di fusione
  • Kv = ( 6.1 × v ) / 6.1 per profilo tagliato o fresato
  • Kv = ( 3.56 × v ) / 3.56 per profilo ottenuto con creatore o strozzatrice
  • Kv = ( 3.58 × v ) / 3.58 per profilo sbarbato o rettificato.

Se il numero di denti minimo è superiore a 50 o la forza riferita alla larghezza di fascia è inferiore al limite, bisogna usare dei Kv più cautelativi di quelli calcolati, oppure approfondire il calcolo, se A non supera i 3m/s, possiamo assumere valore unitario per il fattore dinamico.

KFb è il fattore di distribuzione longitudinale del carico e tiene conto delle disomogeneità di applicazione del carico lungo il dente, in mancanza di informazioni precise si può assumere il valore 1.

KFa è ancora un fattore di distribuzione longitudinale del carico e tiene conto delle disuniformità a causa di errori di passo e di profilo nell’applicazione del carico, in mancanza di informazioni precise si può assumere il valore 1.

I parametri relativi alla fatica che producono una riduzione della tensione ammissibile sono:

  • yST fattore di correzione della tensione ;
  • SFmin fattore di sicurezza a flessione ;
  • yδrelT fattore relativo di sensibilità all’intaglio;
  • yRrelT fattore relativo dello stato della superficie al piede del dente;
  • yX fattore di dimensione ;
  • yNT fattore di durata.

Nel dettaglio:

yST è il fattore di correzione della tensione e tiene conto del tipo di sollecitazione (pulsante, alternata, alternata positiva…) e si ricava utilizzando il diagramma di Smith e Goodman

8.6 Nel caso, ad esempio, di sollecitazione pulsante positiva la normativa porge:

σs = 2⋅ σ0 da cui σFp = 2 σFlim quindi yFP = 2

SFmin è il fattore di sicurezza a flessione che per le sollecitazioni di fatica in generale è pari a 1.

yδrelT è il fattore relativo all’intaglio, dipende dal grado di precisione “tecnologica” della ruota dentata, pertanto vale 1 per ruote “tecnologicamente perfette” prese come riferimento, può comunque essere calcolato con la seguente relazione:

image019

Nella quale il coefficiente ρ’ dipende dalla sensibilità intrinseca del materiale all’intaglio e si può ricavare da tabelle fornite dalla normativa; qs è detto parametro d’intaglio e può anch’esso essere calcolato con la seguente formula:

qs = SFn / 2ρF

con i valori riferiti alla dentiera di riferimento.

8.7

sFn è lo spessore del dente al piede ed è calcolabile con le formule date dalla norma:

image022

nella quale:

image024

x è il coefficiente di spostamento del profilo della dentatura e ρF in mm è il raggio di curvatura in corrispondenza della testa del dente. Le formule per il calcolo sono fornite dalla normativa:

image026

yRrelT è il fattore relativo dello stato della superficie al piede del dente e dipende dal grado di finitura superficiale nei punti di maggiore sollecitazione alla base del dente. Il calcolo da norma è il seguente:

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nella quale Rtm è la rugosità media al piede del dente. Le costanti a, b, c, n dipendono dal materiale. La norma fornisce anche dei grafici per un calcolo rapido, se non si necessita di particolare precisione.

yX è il fattore dimensionale e dipende dalle dimensioni della ruota. Il fattore dimensionale è diagrammato in funzione del modulo normale e del tipo di materiale.

8.8

In condizioni ottimali si può assumere questo fattore di valore unitario.

yNT è il fattore di durata o fattore della curva di Wöhler e dipende dal materiale utilizzato. Per la maggior parte dei materiali utilizzati in meccanica si può esprimere come:

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dove k, Nol, NA, E sono costanti dimensionali dipendenti dal materiale e fornite dalla normativa. Nella normativa sono riportati gli andamenti dei fattori di durata per alcune classi di materiali.

(nota 1) tensione effettiva

(nota2) di disallineamento

Correzioni al metodo di Lewis per il calcolo del modulo di dentatura

La versione correntemente usata per il metodo di Lewis è la seguente:

image001

nella quale

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I valori di forma Y per ruote dentate con angolo di pressione α = 20° sono riportati nell’articolo Calcolo modulo minimo di dentatura con il metodo di Lewis del quale riprendiamo la fine.

La versione modificata per il metodo di Lewis è la seguente:

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Kv tiene conto degli effetti dinamici per una velocità tangenziale v in [ m / s ] e vale:

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Riduttore epicicloidale: progettazione e dimensionamento

In questo articolo portiamo un esempio di dimensionamento per un riduttore epicicloidale come riportato nell’articolo progetto di un riduttore epicicloidale nell’ipotesi che il riduttore sia collegato all’albero in ingresso ad un motore asincrono in corrente alternata trifase a 4 poli.

Calcolo velocità e coppia del motore

Calcoliamo il numero di giri per una frequenza di rete di 50Hz, per primo calcoliamo il numero di coppie di poli per fase:

 Numero coppie poli per fase = numero poli / 2

Subito dopo calcoliamo il numero di giri nominale:

Nn = 60 ⋅ ( f / ncpf ) = 60 ⋅ ( 50 / 2 ) = 1500 [rpm]

La velocità del rotore a pieno carico in condizioni nominali è sempre minore di circa il 3-6%  – fenomeno dello scorrimento elettrico – la velocità di rotazione effettiva del rotore diventa circa 1450 [rpm]. Questa è la velocità di riferimento normalmente utilizzata per i motori a 4 poli.

Nm = 1450 [rpm] = 2 ⋅ π ⋅ 1450 /60 = 149 [rad/s]

Ipotizzando una potenza del motore elettrico pari a 2 kW è possibile calcolare la coppia in ingresso al riduttore:

M1 = Potenza / Nm = 2000 / 149 = 13,42 [Nm].

Per completezza teniamo in conto gli effetti dovuti alle masse in rotazione lato albero in ingresso introducendo il ka detto fattore dinamico di sovraccarico, in prima approssimazione è funzione solo della massima velocità periferica della ruota dentata calcolata in corrispondenza della circonferenza primitiva. Per semplicità ipotizziamo:

ka = 1,5

valido per ingranaggi e condizioni di funzionamento “ordinarie”.

La coppia effettiva risulta quindi pari a:

Meff = M1 ⋅ ka = 13,42 ⋅ 1,5 = 20.13 [Nm] = 201300 [Nmm].

Calcolo rapporto di riduzione

Ipotizziamo che il numero di giri in uscita sia paria a 200 [rpm] pertanto il rapporto di riduzione risulta essere:

i = 200 / 1450 = 0,138.

La coppia disponibile sull’albero in uscita è quindi a meno delle inerzie del riduttore pari a 20.13 / 0.138 = 145.87 [Nm].

Calcolo numero denti del solare

Il solare che è solidale all’albero in ingresso gira a 1450 [rpm] con una coppia di 20.13 [N/m], il passo successivo è calcolare il modulo ed il numero di denti del solare. Ricordando che il numero minimo di denti di una ruota a denti dritti con angolo di pressione 20° è calcolabile mediante il modello pignone cremagliera, risulta che:

Zmin = 17

che adottiamo secondo il criterio di ottimizzare costi e dimensioni.

Calcolo modulo dentatura

Per proporzionare i denti della ruota ci sono due metodi:

  1. Metodo di REULEAU⋅ che calcola il dente considerandolo come una trave incastrata di lunghezza h e di sezione rettangolare pari a s ⋅ b soggetta alla forza periferica Ft applicata sullo spigolo del dente in corrispondenza del diametro di troncatura esterna.
  2. Metodo di LEWIS è sempre un calcolo a flessione. La differenza da Reuleaux è il punto di applicazione della forza tangenziale Ft che adesso è il punto dove la retta di pressione interseca l’asse del dente. La forza quindi agisce ad una distanza minore dell’altezza del dente che diviene un solido di profilo parabolico con sezione resistente di base di dimensioni b = λ ⋅ m dove m = larghezza del dente.

Per dimensionare il dente di seguito ipotizziamo:

  • acciaio da cementazione con una σ adm = 200 N/mm²,
  • λ = b / m = 10.

Il calcolo è iterativo poiché la velocità periferica dipende dal modulo e reciproco pertanto dovremo trovare la convergenza dei valori con il seguente procedimento:

vpsol = ωsol ⋅ dsol / 2 = ωsol ⋅ m ⋅ zsol / 2

ωsol = 1450 [rpm] = 1450 ⋅ 2 ⋅ π / 60 = 151.75 [rad/s]

m = √ [ ( 10.9 ⋅ Meff / n° satelliti ) / ( λ ⋅ kd ⋅ vpsol) ]

kd =  σ adm ⋅ ( 3 / ( 3 + vpsol)).

Il modulo risultante dal calcolo è 1,63767 [mm] che chiaramente non esiste, adottiamo quindi il modulo 2 [mm] che risulta essere quello subito maggiore. Il modulo calcolato vale per tutti gli elementi ingranati tra loro ovvero solare, satelliti e corona. Per il calcolo di numero denti satelliti e corona utilizziamo per semplicità il profilo normale non corretto.

Calcolo numero denti satelliti e corona

Per determinare il numero di denti della corona e dei satelliti utilizziamo le relazioni costitutive, che sono:

i = Zsol / (Zsol + Zco)

Zsol = 17, i = 0,138 da cui sostituendo:

Zco = (17 / 0.1.38) – 17 = 123.2 – 17 = 106.2 = 105

La condizione di montaggio deve essere un numero intero, pertanto:

( Zsol + Zco ) / n° satelliti = ( 105 + 17 ) / 3 = 40,67 che è molto vicino a 41 e pertanto soddisfa.

Calcolo del numero denti satellite con la relazione:

Zco = Zsol + 2 ⋅ Zsa

che sostituendo i valori sostituendo Zco = 105 e Zsol = 17 diviene

105 = 17 + 2 * Zsa da cui

Zsa = (105 -17) / 2 = 44

Calcolo rapporto di riduzione reale Gli arrotondamenti sopra introdotti comportano una modifica al rapporto di riduzione richiesto che è calcolato come numero di giri  i = 200 / 1450 =  0,138. Calcolando il rapporto di riduzione con le equazioni costitutive il calcolo porge:

i = Zsol / (Zsol + Zco) = 17 / ( 17 + 105 ) = 0.139.

Che deve essere commisurato al grado di precisione richiesto. Nel nostro caso la differenza percentuale è minima e ottima per applicazioni industriali normali.

Interferenza tra le dentature

Il modulo della dentatura è pari a 2 mm che corrisponde all’addendum del dente (2mm) mentre i dedendum è 2.5mm per tutte le ruote. Lo stesso vale per la lunghezza minima fascia del dente che è pari a 30 mm. Per i restanti dati riportiamo un sunto schematico:

                          Solare / Satellite / Corona3.3

n° denti                                                      17 / 25 / 67

diametro primitivo [mm]                      34 / 50 / 134

diametro di fondo [mm]                        29 / 45 / 129

diametro di troncatura dente [mm]    38 / 54 / 138

Tra solare e satellite possiamo escludere la presenza di interferenza poiché si tratta di dentature esterne calcolate secondo i criteri di dimensionamento normalizzati. Per quanto riguarda invece le possibili interferenze tra satellite e corona non possiamo darla per scontata poiché si tratta di dentatura interna. Pertanto una verifica è da ritenersi necessaria specie nella fase di entrata del dente del pignone satellite nel vano del dente della corona. La verifica è geometrica e consiste nel verificare che il raggio di troncatura della corona sia superiore alla distanza tra il centro della corona e il punto in cui la retta d’azione è tangente al cerchio di base del satellite. Se ciò non avviene la base del dente del satellite interferisce con la testa del dente della corona.

Raggio di troncatura dente corona = 138 / 2 = 69 mm.

Raggio primitivo corona ⋅ sen 20° = 134 /2 ⋅ sen 20° = 22.91 mm

Raggio primitivo satellite ⋅ sen 20° = 50 /2 ⋅ sen 20° = 8.55 mm

Raggio primitivo corona ⋅ cos 20° = 134 /2 ⋅ cos 20° = 62.96 mm

Distanza centro corona e punto tangenza corona/satellite = √ [( 22.91 – 8.55)² + 62.96²] = 64.58 mm < 69 mm

La condizione è verificata.

La progettazione dei riduttori epicicloidali

Dal punto di vista applicativo la principale caratteristica del riduttore epicicloidale è di avere gli alberi di ingresso e di uscita coassiali in alternativa, per esempio, al riduttore a vite e madrevite nel quale sono perpendicolari. La seconda caratteristica è la reversibilità, infatti si può sentir parlare di moltiplicatore di giri epicicloidale. Per ultimo il range di rapporti di riduzione è elevato perché  può essere presente in configurazione singola o multistadio. I materiali e le caratteristiche tecnologiche sono crescenti fino alla realizzazione di ruote in acciaio legato con denti a profilo rettificato, per maggior rigidità del dente vengono eseguiti trattamenti di cementazione e tempra. Per impieghi di precisione sotto carico possono essere utilizzate ruote a denti inclinati, mentre la realizzazione degli alberi con acciai bonificati e rettifica delle sedi, permettono un buon accoppiamento con i cuscinetti a sfere o rulli a seconda delle coppie trasmesse, permettono di aumentare la vita tecnica. In considerazione del fatto che un riduttore raramente viene revisionato preventivamente diviene importante che il grasso contenuto di tipo sintetico di alta qualità per mantenere backlash ridotti e rendimenti alti per lungo tempo.

La trasmissione è realizzata da tre componenti:

  1. ingranaggio solare,
  2. porta-satelliti
  3. corona a dentatura interna.

Quando i tre componenti sono liberi di ruotare si ottiene un differenziale epicicloidale, mentre quando uno dei tre è fisso e gli altri due mobili si ottiene il riduttore epicicloidale in tre diverse configurazioni grazie alle quali il movimento rotatorio viene trasmesso con diverso rapporto di riduzione e trasmissione coppia. Le tre possibili combinazioni sono;

  • Porta-satelliti fisso, solare e corona mobili
    • albero di ingresso e uscita hanno senso di rotazione opposti
  • Corona fissa, solare e porta-satelliti mobili
    •  albero di ingresso e uscita hanno lo stesso senso di rotazione
  • Solare fisso, porta-satelliti e corona mobili
    • albero di ingresso e uscita hanno lo stesso senso di rotazione.
5.3

POSSIBILI CONFIGURAZIONI DI UN RIDUTTORE EPICICLOIDALE

Nel seguito un riduttore epicicloidale nella forma più comune con corona fissa, solare e porta-satelliti mobili per il quale albero di ingresso e uscita hanno lo stesso senso di rotazione.

Semplificando la questione cinematica imponiamo e condizioni di congruenza cinematica per le quali:

  • PRIMA CONDIZIONE:
    • distanza radiale alberi porta-satelliti = diametro primitivo dell’ingranaggio solare/2 + diametro primitivo ingranaggio satellite/2
    • distanza radiale alberi porta-satelliti = modulo/2 x (numero denti ingranaggio solare + numero denti ingranaggio satellite)
  • SECONDA CONDIZIONE:
    • diametro primitivo corona = modulo x numero denti corona
    • diametro primitivo corona = diametro primitivo dell’ingranaggio solare + 2 x diametro primitivo ingranaggio satellite
    • diametro primitivo corona = modulo x (numero denti ingranaggio solare + 2 x numero denti ingranaggio satellite)
  • TERZA CONDIZIONE:
    • modulo costante.

Con queste condizioni si ottiene il legame costitutivo che lega il numero di denti dei tre elementi:

Z corona = Z solare + 2 x Z satellite

Le condizioni cinematiche riferite alle circonferenze primitive porgono:

  • QUARTA CONDIZIONE:
    • velocità tangenziale ingranaggio solare = velocità di rotazione ingranaggio solare x raggio ingranaggio solare
    • velocità tangenziale ingranaggio solare = velocità di rotazione ingranaggio solare x modulo x numero denti ingranaggio solare/2
  • QUINTA CONDIZIONE (riferita alla rotazione istantanea del satellite attorno al punto di ingranamento sulla corona):
    • velocità tangenziale ingranaggio satellite = velocità istantanea di rotazione ingranaggio satellite x diametro ingranaggio satellite
    • velocità tangenziale ingranaggio satellite = velocità istantanea di rotazione ingranaggio satellite x modulo x numero denti ingranaggio satellite
  • SESTA CONDIZIONE (ingranamento solare – satellite):
    • velocità tangenziale ingranaggio solare = velocità tangenziale ingranaggio satellite
  • SETTIMA CONDIZIONE (collegamento tra satellite e porta-satellite):
    • velocità tangenziale asse del satellite = velocità periferica satellite / 2
    • velocità tangenziale asse del satellite = velocità istantanea di rotazione ingranaggio satellite x diametro ingranaggio satellite / 2
    • velocità tangenziale asse del satellite = velocità istantanea di rotazione ingranaggio satellite x modulo x numero denti ingranaggio satellite / 2.

Dalle condizioni di cui sopra risulta che la velocità tangenziale del perno solidale al porta-satelliti può essere espressa come segue:

velocità tangenziale asse del satellite = velocità di rotazione del porta-satelliti x (diametro primitivo dell’ingranaggio solare/2 + diametro primitivo ingranaggio satellite/2)

velocità tangenziale asse del satellite = velocità di rotazione del porta-satelliti x modulo x (numero denti ingranaggio solare/2 + numero denti ingranaggio satellite/2)

A questo punto utilizzando la congruenza geometrica si ottiene il rapporto di riduzione in funzione del solo numero di denti:

i = Z solare / (Z solare + Z corona)

Il riduttore epicicloidale per essere montato richiede il rispetto di una regola per ingranare i denti del solare nei tre satelliti imperniati sul porta-satelliti:

(numero denti ingranaggio solare +  numero denti corona) / n° satelliti = numero intero